Đáp án C

Cách 1:

Gọi I là trung điểm của cạnh AD.

∆ A B C  vuông cân tại B, ∆ I C D  vuông cân tại I và có AB=IC=a nên A C = C D = a 2  

Khi đó A C 2 + C D 2 = A D 2  nên ∆ A C D  vuông cân tại C.

Trong (ABCD), dựng hình vuông ACDE. Trong ∆ S A E , kẻ A H ⊥ S E ( 1 )  

Ta có

E D ⊥ S A E D ⊥ A E ⇒ E D ⊥ ( S A E ) ⇒ E D ⊥ A H ( 2 )  

Từ (1) và (2) suy ra A H ⊥ ( S D E )  

Vì A C / / E D nên

d A C , S D = d A C , S D E = d A ; S D E = A H

Trong  ∆ S A E ,   1 A H 2 = 1 S A 2 + 1 A E 2

⇔ A H = S A . A E S A 2 = A E 2 ⇔ A H = a . a . 2 a 2 + a 2 ) 2 = 6 a 3

Vậy d A C , S D = 6 a 3

Cách 2:

Dễ thấy D C ⊥ ( S A C ) . Trên mặt phẳng (ABCD)

dựng: A G / / C D , D G / / A C , D G ∩ A B = E

Dễ dàng chứng minh được: S.AED là tam diện vuông (1) 

Tính được: AE=AD=2a.

Mà A C / / ( S D E )

⇒ d A C , S D = d A C , S D E = d A , S D E = A H

Với AH là đoạn thẳng dựng từ A vuông góc với mặt phẳng (ADE)

Ta có: 1 A H 2 = 1 S A 2 + 1 A E 2 + 1 A D 2

⇒ A H = 6 a 3

Cách 3:

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz

Khi đó A ( 0 ; 0 ; 0 ) ; C ( a ; a ; 0 ) ;

D ( 0 ; 2 a ; 0 ) ; S ( 0 ; 0 ; a )  

Do đó A C ⇀ = ( a ; a ; 0 ) ; S D ⇀ = ( 0 ; 2 a ; - a ) ; S A ⇀ = ( 0 ; 0 ; - a ) ;

và  A C ⇀ ; S D ⇀ = ( - a ; a ; 2 a )

Ta có d A C , S D = A C ⇀ ; S D ⇀ . S A ⇀ A C ; ⇀ S D ⇀

= - a . 0 + a . 0 + 2 a . ( - a ) - a 2 + a 2 + 2 a 2 = 6 a 3  

Chọn đáp án C.

HD: Gọi I là trung điểm của AD → ABCI là hình vuông cạnh a → ∆ACI có đường trung tuyến

Đáp án là A

Đáp án A

Ta có  S C D ∩ A B C D = C D

C D ⊥ S A C D ⊥ A C ⇒ C D ⊥ S A C ⇒ S C ⊥ C D

Vì  S C ⊥ C D , S C ⊂ S C D A C ⊥ C D , A C ⊂ A B C D

Nên  S C D , A B C D ^ = S C A ^ = 45 o

Dễ thấy ∆ S A C  vuông cân tại A

Suy ra SA = AC =  a 2

Lại có

  S M C D = 1 2 M C . M D = 1 2 a . a = a 2 2

Do đó

  V = V S . M C D = 1 3 S M C D S A = 1 3 . a 2 2 . a 2 = a 3 2 6

Ta có

  B D ∥ M N M N ⊂ S M N ⇒ B D ∥ S M N

Khi đó d( SM,BD ) = d( SM, (SMN) ) = d( D, (SMN) ) = d( A, ( SMN) )

Kẻ  A P ⊥ M N , P ∈ M N A H ⊥ S P , H ∈ S P

Suy ra  A H ⊥ S M N ⇒ d A S M N = A H

∆ S A P  vuông tại A có

1 A H 2 = 1 S A 2 + 1 A P 2 = 1 S A 2 + 1 A N 2 + 1 A M 2 = 1 2 a 2 + 1 a 2 4 + 1 a 2 = 11 2 a 2

Do đó d = d( SM, BD ) = AH =  a 22 11

Đáp án A